[学习方法] 两年来的学习总结三 [推广有奖]

接两年来的学习总结二，这是三。到这里纯数学的部分就完了，后面会有概率跟统计的部分。

2：Geometry&Topology:

这个Field里面我只说一下Point-Set Topology，因为更深的比如Algebraic Topology 跟 Differential Topology一是我没学过，二是我感觉经济学里对这些东西的应用都集中在General Equilibrium里面几乎，早被Arrow，Debreu那时代的大师们做的很深入了，好像很少有人号称自己做General Equilibrium了现在。不过可笑的是，国内竟然有连基本的数学知识都很贫乏的人竟然号称自己做General Equilibrium理论，真是滑天下之大稽。

Point-Set Topology我没上过课，由于我一学期毕竟精力有限，必须要上的已经将Schedule添的满满的了，实在没办法再上了，即使勉强去听，没时间做题，没有长时间的认真思考，也学不到什么东西。因此我选择了在来美后的第一个Summer自学。不过因为第一年我在修Real Analysis已经将很多基本概念都熟悉了，而且最重要的是Topology在Analysis里面的应用大概都接触到了，从而使得我在自学时并不感到迷茫，并没有“为什么提出这些概念”，“这些概念有什么用”，“什么样的Intuition”这样的问题，从而速度快了很多，而且理解的也更深刻一些。即使是这样，也花了整整一个Summer三个月的时间才算是学完，我用的是Munkres的<Topology>，这本书我不得不说真的是写的太好了，概念清晰，证明思路清楚完整，尤其一些比较重要的定理的证明，都有相关的图形辅助，直观明了，绝对是一本经典之作。值得一提的是，这本书前面的Set Theory讲的尤其的好，毕竟我们不是做数学的，Set Theory我们不需要知道的太多，但是这本书的Set Theory讲的比我们需要知道的深一些，但是直观清楚，读透了这个就不需要再看任何Set Theory的东西了，够你一辈子用的了，如果你做Econ而不是数学的话。我自己是讲这本书Point Set Topology的部分每一部分都认真读过，证明都过了至少一遍，重要的定理（比如Urysohn’s Lemma, Tynchonoff Theorem）反复看过几遍，课后几乎每一道习题我都尝试过，因为我比较幸运的找到了这本书课后习题的答案，因此做完后有地方可以对照一下是否自己做的对，思路是什么样的。其实我是在网上搜到了一个Course Webpage，好像是荷兰一个大学的，这个Course用的就是Munkres，布置的习题都是这上面的，上面有习题的Solution。当我刚开始想下载时，就出现网页错误，于是我就Email问那个Professor。结果人家很快回信告诉我网页错误他已经改过来了，可以下载Solution，并说如果有问题可以发信问他，真的是太Nice了。这个对我的帮助可以说是巨大无比。当然，在学这本书的时候我也不断回去看Rudin的《Real and Complex Analysis》，Folland<Real Analysis>, Royden<Realy Analysis>，其实后两本都有算是比较全的Topology的章节。通过不断回去读这些，我对Topology的应用，概念的由来感觉掌握的更加牢固，毕竟这些书是分析的书，在写Topology部分时都比较着重于跟在分析中有用的Topic，比如Complete Metric Space, Function Space，Ａrzela-Ascoli定理等，这些Topic在Analysis都有着极为核心的作用，因此掌握它们是必要的。 

最后为了说明学这门课的重要性，我说一下Point Set Topology的应用，在分析里的就不用说了，如果你是做计量理论的，那么你一定知道Limit Theory的重要性，也就是各种各样LLN，CLT定理。其中用的很多的一个方法就是Embedding，比如极为重要的CLT for Matingale Difference Sequence，而这个方法基于的就是讲Stochastic Process看作一个从时间到一个Function Space的映射，在这个基础下来证明Weak Convergence，著名的Billingsley的《Weak Convergence of Probability Measure》整本书就是讲这个，我相信想做计量的人一定都知道。而这只是A tip of Iceberg，后面非常多的东西都基于这个，比如统计Asymptotic Theory里面的Empirical Process，Stochastic Process里面的Convergence，等等。所以Point-Set Topology我个人认为还是很重要的，当然专门学，只是在相关的课程里面学一下基本内容也是可以应付的，但是对于我自己来说，每次学不同的东西都要来一点Topology中新的东西很痛苦，索性我就一次搞定，再无后患了。不过这纯粹个人习惯。

个人建议：学这门课以Munkres为主要教材，一定要从头学到尾，课后习题尽量都做掉，除了个别怪异的，然后经常翻翻Rudin，Folland, Royden等等，以对其有更加透彻的了解。

 3：Algebra

3.1：Linear Algebra

如前面的个人背景介绍，我个人对Linear Algebra的基本概念与运算是很熟悉的，但是来到美国之后才发现，其实自己所学的仅相当于这里数学系Undergraduate第二年的Linear Algebra，而对Honors Course for Linear Algebra里面很多理论的东西则并不知道。实际上，这正是偏计算与偏理论型Linear Algebra课的区别，一个简单的例子就是，前者将矩阵看作一个数据表，而后者将矩阵作为一个Linear Operator。据我所知，国内除了数学系一年的高等代数课外，其他系所教的Linear Algebra应该都是一学期而且主要注重于计算的，理论部分的讲解并不深。即使是国内数学系一年的课，拿北大数学系那本《高等代数》，理论的深度跟这个Honors课也是存在差距的，比如Spectral Theorem那一块，深浅程度差别是很大的。

为什么要学这些理论部分呢？想想泛函分析里讲的是什么，那不恰恰正是矩阵代表的有限维线性空间上线性算子在无穷维空间上的推广么！！！我当初在国内学泛函分析的时候，老是对有些概念如Dual Space，有些技巧比如用一个线性空间上的所有线性泛函来刻画这个线性空间，等等很多东西觉得很茫然，感觉不到从哪儿来的。而实际上，这些概念都是Linear Algebra相应概念的推广，只是因为泛函里是无限维空间所以我们需要考虑Topology的问题，而Linear Algebra里则是有限维空间，上面所有的Topology都是等价的，因此我们不在Linear Algebra里面考虑Topology，只有Algebra的相关概念而已。

这个课我学了两次，第一次是来美的第一个学期，当时上这个Honors的课，大概到了学期一半的时候，因为Econ的课考试太多（两次期中，一次期末），再加上我还上了巨难无比的Real Analysis，最后不得不放弃掉；然后上个学期，我又从上次自己停下的地方接着开始听，算是把这门课完整学了一遍。上课教材是Curtis 《Linear Algebra: An Introductory Approach》，写的非常好，前面从Chp1到Chp6相对来说还比较容易对付，后面从Chp6到Chp9则是精华部分，理论讲的很深，证明也必须反复琢磨，题目要多做，这样才能理解深刻。而且很多Abstract Algebra的东西都在这里穿插讲解，比如Group，Ring，Linear Algebra等等。其中关于那些Decomposition Theorem（Jordan，Rational等等）的证明，是基于了Linear Algebra（一个线性空间再加上一些乘法性质）的概念。而Linear Algebra在泛函里的推广，则是著名的Banach Algebra，它就是无限维空间里Spectral Theorem证明的基础。还有一本著名的教材是Hoffman&Kunze的《Linear Algebra》，写的更Comprehensive一些。

个人建议：Curtis国内有影印版，可以以这本书为主，将其做透，习惯尽量全做，如果有兴趣可以看一下Lang 的<Undergraduate Algebra>，国内也有影印版，不过比Curtis的书要简单。

3.2：Abstract Algebra

这门我没什么可说的，我自己没去上过课，关键是其在Econ里面不象Analysis那么重要。Abstract Algebra的概念我一部分是在Linear Algebra里面学到的，一部分是自己就读了一本薄薄的中文教材张禾瑞《近世代数基础》，再参考了一下Rotman的《 A First Course in Abstract Algebra》。 我见到过的Abstract Algebra是在Functional Analysis里面Banach Algebra跟Semi－Group算是一点，另外的是在Fourier Analysis里面有抽象的Fourier Analysis在Locally Compact Hausdorff Group空间上，算是将Topology跟Algebra里面的Group概念结合起来，其实这些都是对n维欧式空间的推广。关于这门课我自己也还没决定是否去修，因为以现在我见到的来看，除了我上面所说的Abstract Algebra的东西，好像进一步的深入不是很必要。所以，有时间有精力愿意学的就去学，如果你象我一样，不是那么有时间，我觉得自己读一下张禾瑞的《近世代数基础》大概了解一下就好了，如果感觉不是很清晰，可以再看一下Rotman，感觉这样就足够了。

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