[学习方法] 两年来的学习总结二 [推广有奖]

接着两年来的学习总结二

1．4：Fourier Analysis（Classic）

Fourier Analysis真的很重要的，记得有人称之为”Queen of Mathematics”,因为数学中无数的重要思想都来在于对这个领域的研究。它跟PDE那是紧密相连；Probability里面的Characteristic Function就是一个Fourier Transform；Time Series的Spectrum就是Auto-covariance Function的Fourier Transform；统计与计量中讲Empirical Characteristic Function作为进行Specification Test的基本工具，还有好多好多例子说明它在不同领域中的应用。

不过这门课很少单独作为一门课被讲解，我是从前面的1.2 Real Analysis与后面要介绍的Wavelet Analysis两门课中各学了一半算是。Classic 的Fourier Analysis主要是研究Fourier Series 展开与Fourier Transform成立的条件，主要推荐的书为Stein & Shakarchi 的《Fourier Analysis：An Introduction》这是Princeton Lecture Notes In Analysis的第一本，也是大师Stein的主要工作领域（他的名著的调和分析三部曲想必很多人知道），看看这本书的前言你就可以了解为什么Fourier Analysis这么重要。不过这本书是基于Riemann积分的，因为前面的Fourier Series与Fourier Transform讲的深度有限，毕竟现代的结果都是在Lebesgue积分下得到的，但是这本书给出了Finite Fourier Transform在Number Theory里面的应用，让你的视野一下子就开阔了很多。这本书我是从头读到尾的，每个定理的证明都认真推导过。基于Lebesgue积分的Classic Fourier Analysis的主要推荐则是Katznelson著名的《An Introduction to Harmonic Analysis》，经典的结果都在里面，当然Rudin<Real and Complex Analysis>的第4章的一部分，第9章以及Folland的第6，7章都是很好的介绍。Pinsky的《Introduction to Fourier Analysis and Wavelets》的Fourier Analysis写的也很好，不过我有点Follow不了他的证明，有时候太简略了觉得。

最后说一下，这里讲的都是比较经典的结果。现代的Fourier Analysis理论（现在都叫Harmonic Analysis了），包括Littlewood-Paley以及Calderon-Zygmund theory，真是是太难了，我在学Wavelet Analysis时本来想试着去学一点，因为Wavelet有一块理论基础要基于这些，结果后来实在学不下去，只好就此放弃了。当然我现在觉得我需要用的东西也不需要学这么深入的东西，所以想想心里就舒服多了，自我安慰还是很好的

个人建议：以Stein & Shakarchi，与Katznelson为主，这至少需要一个学期，如果你不想花那么多时间，那么先看Stein & Shakarchi，然后再读Rudin与Folland的相关章节，最后以Katznelson跟Pinsky作为参考，遇到不明白的到这里来找，这样应该就OK了，其实我就是采取的后一种策略，当然这跟我学过Rudin与Folland有关系。

1.5:Complex Analysis

这门课我想说的不多，这里本科有个Honors Course for Complex Analysis,然后Math PHD的Core Course 也包括Complex Analysis，显然后者比前者要理论的多，前者计算多一点，后者理论比较多，甚至包括Riemann Mapping Theorem的证明，但是就我看到的来说，感觉本科的就够用了对Econ来说，因此学到什么程度依大家的喜好来定可以。

前者的参考书可以用Brown & Churchill《 Complex Variables and Applications》，Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》，也即Princeton Lecture Notes In Analysis的第二本的前面两章。后者的参考书可以用Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》后半部分，Rudin《Real and Complex Analysis》的后半部分，当然经典的Alforos的《Complex Analysis》也是上上只选。我当时学Complex Analysis上的是Graduate Course，用的是后面这几本，以Stein & Shakarchi为主要教材（这本书习题答案网上找得到），遇到不会的就去另外两本上找，其中关于Residual 的计算主要是靠Alforos上的内容。老师讲的飞快，一个月就把前面相当于本科复变函数的部分讲完了，后面讲了很多非常理论性的东西，比如Riemann Manifold的东西，听得我很晕。

个人建议：我自己觉得如果你本科是数学系的或者学过复变函数在国内，那么应该不用再学这个课了，足够用了。如果没学过的，建议修这门课，毕竟至少Time Series里面很多东西都是Complex Varariable的，实际上我自己正在写一个Paper，里面Estimator的Asymptotic Distribution服从Complex Normal Random Variable。另，这些书在国内都有英文影印版，省钱啊！！！

1.6:Basic Functional Analysis:

Functional Analysis我打算分开两部分讲，因为做不同方向的人需要是不一样的我觉得。我所在的学校Functional Analysis是有两个课，一个是与前面有重复的叫做Applied Functional Analysis，另外一个是Advanced Functional Analysis，是比较深的理论。本部分讲第一个。这个课的内容就是基本的Functional Analysis内容，主要是为那些Engeering，Statistics，Finance，Operation Research专业的学生设计的，Math PHD学生是不会上这个的，因为大部分内容他们都在前面的Real Analysis里面学过，除了一点Compact Operator Theory或者至多再加上一点Generiazed Function Theory。也就是说，这个课内容主要是Banach Space, Hilbert Space, Compact Operator,以及Generalized Function Theory.前面两部分都是Real Analysis里面的内容，后面分别属于Operator Theory与Fourier Analysis。这学期我们系两个在做Finance，Decision theory的比我高一级的哥们就在上这个课。

主要的参考书是Friedman《Foundation of Modern Analysis》，这本书写的真是太好了，看起来很舒服，证明写的很全很清楚。其实我没有上这个课，我上的是后面的Advanced Functional Analysis，但是因为后面这个课也讲Compact Operator与Generalized Function Theory,而且两门课老师是一个人，因此我找了这本书看

个人建议：Friedman这本书国内好像没有影印版，但在网上好像有电子版。有一本很好的替代教材，而且是中文的，那就是夏道行先生的<实变函数与泛函分析>，这本书跟Friedman那本书讲的内容深度几乎没什么差别，我觉得这是我看过的中文数学书里面写的最好的一本了，真的是很好！！！！！！！！！！！！

1.7:Advanced Functional Analysis:

这是一门数学系的高级课程，好多来修这门课的都是二年级的Math PHD学生。我是这个学期上的，内容是Topological vector spaces.，Banach algebras.，The spectral theorem for bounded and unbounded operators.，Compact operators ，Semigroups of operators。从内容你就可以看出难度来相信。其实我觉得这门课应该改名叫算子理论，因为主要是讲各种算子以及谱理论。虽然这门课很难，但这是我这学期上的最舒服的一门课了，原因是老师真的是讲的太好了。上课从不看Notes，那么难的定理，不单Intuition讲的明白，而且证明都可以边讲边推。我刚开始以为他还很年轻，因为他老是充满了精力。后来我的朋友告诉我，他已经76了，很快就要退休了，真是令人惊叹不已，不得不服。这门课没有Final Exam，所有的学生轮流讲最后两章也即Compact operators与Semigroups of operators的内容。结果轮到我的时候正好是Hille-Yosida定理的证明，别人都只需要讲一节课，而我却两节课还差点没讲完，不过Professor安慰我说，我多给你加几分，然后冲我幽默一笑，真是有意思。这门课快结束的时候，班上的学生都觉得挺依依不舍的，毕竟一起钻研了这么多Crazy定理的证明，也算是共患过难了。还有小插曲一个：班上一个罗马尼亚的学生问我汉语跟韩语的区别，我立马跟他说，韩语以前不是语言，只能说，不能写，写都是写中文，他觉得很惊讶。班上其实有个韩国女生，化妆之后挺PP的（但不知道化妆前啥样），不过那天她好像不在。管不了这么多了，一定得给他们普及常识，别再让汉语韩国造这种白痴的说法恶心了！！发现跑题了，书归正传，我们上课用的是老师自己写的Leture Notes，参考教材是Rudin的《Functional Analysis》（被称作Adult Rudin），另外Zimmer的一本薄薄的<Essential results of Functional Analysis>与Lax《Functional Analysis》写的也是很棒的，可以用来作为参考。

个人建议：如果你做的方向不是用特别深的随机过程理论，这些就不必要学了，学好前面的Basic Functional Analysis就好了。我学这个是因为我可能想做点Continuous Time Stochastic Process的估计与检验，而这里面的Semi-group of operators是研究Continuous Time Markov Process的一个重要工具。如果要学的话，Adult Rudin与Lax国内都有英文影印版，不过基础一定要好，这样才能学明白，而且不至于耗费你大量的时间。

1.8：Wavelet Analysis

首先声明，Wavelet学不学看你是否需要它。我学这个是因为我要做的东西需要Wavelet这个工具。Wavelet是近十几年才发展起来，但是因为它的应用极为广泛，而且相对于Fourier Transform有着Space Localized的优势，从而成为很多领域的重要的工具，比如Signal Analysis, Numerical Solution for Differential Equations, Nonparametric Estimation，甚至现在Econometrics 里面都有了很多的应用。

我是这学期上的这个课，课程是为高年级的Undergraduate设计的，但其实应该算是Graduate的课才对，因为其中很多证明虽然不讲，说可以Take It As Granted，但是如果你把太多的东西当作Given，那就合着什么都没说。学这个的基础至少为前面的1.6 Basic Functional Analysis与1.4 Fourier Analysis，要不然很多你东西你根本不知道怎么回事。我上课用的课本为Frazier, 《An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra》，说是Introduction跟用Linear Algebra，其实根本不行，所以这本书的Title很具有诱惑性，不过这本书好处在与将Finite的情形讲的特别清楚，从而不至于使你迷失在无限维空间的众多的公式之中，忘记了身处何方，而且毕竟你要用Wavelet，肯定用的都是Finite近似Infinite的情形，所以还是很好的。顺便提一句，这是我这学期四次Presentation中的第一次，巨紧张无比当时，幸亏前天晚上对着我学文科的LP一通猛讲，进行了提前训练（估计她才不Care我讲的啥，只是当看耍猴了），才使得第二天Presentation不至于出丑，不过经过这么一次，现在对任何Presentation都没什么畏惧感了，毕竟如果你在讲那么你就是专家，所以没什么可担心的。

其他比较好的参考书有前面提到过的Pinsky，Hernandez 与Weiss 的《A First Course on Wavelets》，Wojtaszczyk的《An Mathematical Introduction to Wavelet Analysis》，至于著名的Daubechies的《Ten Lectures on Wavelets》，我看还是算了吧，书太难了，如果你不是搞数学的，看这个感觉没什么必要。

个人建议：我只知道Pinsky的书国内有影印版，其它的可能没有，不过Pinsky的书写的足够用了我觉得，把它看明白了，做点Econ里的应用应该是可以了。别的书大家可以试着在网上搜索，应该可以找得到。

1.9：ODE&PDE:

这个我没什么可说的，因为我自己还没正式上过课，只是在国内的时候自己浏览了一下一本中文教材，丁同仁的《常微分方程》。我下一年有可能去修这个Sequence，第一学期ODE，第二学期PDE。它们是比较有用的，不论对做Macroeconomics还是Finance的来说，因为Optimization问题解出来是一个ODE或者PDE，而且PDE 与Brownian Motion紧密相连，同时ODE则是Stochastic Differential Equation的Intuition基础。这方面的书我还没读，虽然我知道一些经典的书，但是因为我没读过，所以我就不推荐了！有兴趣的兄弟姐妹去网上查查可以。

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两年来的学习总结三：https://bbs.pinggu.org/thread-318124-1-1.html

之四 https://bbs.pinggu.org/thread-318351-1-1.html

之五 https://bbs.pinggu.org/thread-318354-1-1.html