请教一道FRM考题

9# Godqhj


另：最后您说marginal return是定值？不应该是随权重增加减少吗？

Godqhj 发表于 2010-1-16 21:46

静湖宜陶 发表于 2010-1-15 22:48

静湖宜陶 发表于 2010-1-14 08:47
就是关于配比增大边际风险减少的推导过程
另外请教的是：是否这个过程实现了整个资产组合的the ratio of the marginal return to marginal risk 的最大化？

这个地方我讲错了，配比增加边际风险相应增加的推导过程

设asset1所占比例,期望收益,标准差分别是：(w1,r1,b1)，portfolio中剩下的部分不妨归为一类，即asset2：(w2,r2,b2),显然w2＝1－w1。

asset1的marginal risk是portfolio收益的标准差对于比例w1的一阶导数。所以楼主要的“配比增加边际风险相应增加”实际上是要证明这个导数随着w1递增。相应的数学证明就是要证明前面的二阶导数>0。这个证明比较麻烦，也不必要，可以直接从函数图像上得到要的结论。

其实portfolio的方差是(w1*b1)^2+2p*w1*(1-w1)*b1*b2+((1-w2)*b2)^2，其中p是相关系数，这个式子是w1的一元二次方程，一元二次函数的图像不用多说吧（这个式子是开口向上的），每个点的斜率就是对于w1的一阶导数，二次函数图像左右对称，显然在右边是随w1递增的。把这个式子开方就是标准差了，而开方后的函数图像显然是和原来的一元二次函数图像的形状是一样的，即右半边斜率随w1递增，所以w1增加使得marginal risk也增加，由于marginal return是定值，所以marginal return/marginal risk减小。

另外还有一点不解：边际风险图像左半边随权重增加递减，这样此题如何判断当前权重是在什么位置呢？
难道要求出一阶导数为零的权重位置以此判断？能下手吗。
还是再次感谢9楼的不辞辛苦写出这个思路来。

不好意思，是我思路有问题了，边际风险是随权重严格单调递增的
因为方差关于权重的二阶导数为(b1)^2-2p*b1*b2+(b2)^2严格大于零。

再次感谢9楼的兄台~

再次更正下：p=1即当两种资产完全相关时，可能出现二阶导数为零的情形，因此“严格”一说不成立

11# 静湖宜陶
marginal return=d(w1*r1+w2*r2)/d(w1)=r1-r2,题目中就是asset减去无风险收益。

还有强调一点，marginal risk实际上是那个抛物线开方后图像的斜率，这里分三个情况：1，抛物线最低点在x轴上，那么抛物线函数能完全平方，则开方后图像是两条v形直线，斜率为定值；2，抛物线最低点在x轴上方，则刚才的v形图像是这个抛物线开方后图像的渐近线，（最低点>0，所以右侧斜率增加）；3，抛物线最低点在x轴下方，这个函数开方只有x轴上面部分有意义（斜率是减小的），由于然而portfolio的方差是不可能小于0的，所以情况1和3是不可能的。

还有关于图形左右两边的问题：首先权重w取值范围是（0，1），且由于题中各asset是正相关的，而两个正相关的随机变量的权重0到1的线性组合的方差是介于各自方差之间的，所以这个区间上只能是图形的右半段。

楼主研究的太深透彻了，出题的人也未必考虑这么多呀～

16# Godqhj

在下实属不才！为什么标准差关于权重的一阶导数即为边际收益？？
但根据d(w1*r1+(1-w1)*r2)/d(w1)=r1-r2能够理解边际收益不随权重变化了，这里和微观中边际收益递减不同是因为权重和始终为1。

不好意思写错了，标准差关于权重的一阶导数是边际风险，已经在上面改掉了。。。

看到了，谢谢你，也许还会有问题请教，请多关照

cb702 发表于 2010-1-13 22:49
还是不明白，能不能解释得更清楚一些？？

楼上说的没错