Mathematical Models of Financial Derivatives

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Mathematical Models of Financial Derivatives

</p><p>发点资料，加点人气～～～<br/>1 Introduction to Derivative Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br/>1.1 Financial Options and Their Trading Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br/>1.1.1 Trading Strategies Involving Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br/>1.2 Rational Boundaries for Option Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br/>1.2.1 Effects of Dividend Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br/>1.2.2 Put-Call Parity Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br/>1.2.3 Foreign Currency Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br/>1.3 Forward and Futures Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br/>1.3.1 Values and Prices of Forward Contracts. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br/>1.3.2 Relation between Forward and Futures Prices . . . . . . . . . . . . 24<br/>1.4 Swap Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br/>1.4.1 Interest Rate Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br/>1.4.2 Currency Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br/>1.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>2 Financial Economics and Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br/>2.1 Single Period Securities Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br/>2.1.1 Dominant Trading Strategies and Linear Pricing Measures . . 37<br/>2.1.2 Arbitrage Opportunities and Risk Neutral Probability<br/>Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br/>2.1.3 Valuation of Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br/>2.1.4 Principles of Binomial Option Pricing Model . . . . . . . . . . . . . 52<br/>2.2 Filtrations, Martingales and Multiperiod Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br/>2.2.1 Information Structures and Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br/>2.2.2 Conditional Expectations and Martingales . . . . . . . . . . . . . . . 58<br/>2.2.3 Stopping Times and Stopped Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br/>2.2.4 Multiperiod Securities Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br/>2.2.5 Multiperiod Binomial Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>2.3 Asset Price Dynamics and Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br/>2.3.1 Random Walk Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br/>2.3.2 Brownian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br/>2.4 Stochastic Calculus: Ito’s Lemma and Girsanov’s Theorem . . . . . . . . 79<br/>2.4.1 Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br/>2.4.2 Ito’s Lemma and Stochastic Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br/>2.4.3 Ito’s Processes and Feynman–Kac Representation<br/>Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br/>2.4.4 Change of Measure: Radon–Nikodym Derivative and<br/>Girsanov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br/>2.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br/>3 Option Pricing Models: Black–Scholes–Merton Formulation . . . . . . . . 99<br/>3.1 Black–Scholes–Merton Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br/>3.1.1 Riskless Hedging Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br/>3.1.2 Dynamic Replication Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br/>3.1.3 Risk Neutrality Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br/>3.2 Martingale Pricing Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br/>3.2.1 Equivalent Martingale Measure and Risk Neutral<br/>Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br/>3.2.2 Black–Scholes Model Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br/>3.3 Black–Scholes Pricing Formulas and Their Properties . . . . . . . . . . . . 114<br/>3.3.1 Pricing Formulas for European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br/>3.3.2 Comparative Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br/>3.4 Extended Option Pricing Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br/>3.4.1 Options on a Dividend-Paying Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br/>3.4.2 Futures Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br/>3.4.3 Chooser Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br/>3.4.4 Compound Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br/>3.4.5 Merton’s Model of Risky Debts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<br/>3.4.6 Exchange Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142<br/>3.4.7 Equity Options with Exchange Rate Risk Exposure . . . . . . . . 144<br/>3.5 Beyond the Black–Scholes Pricing Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br/>3.5.1 Transaction Costs Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br/>3.5.2 Jump-Diffusion Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br/>3.5.3 Implied and Local Volatilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br/>3.5.4 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br/>3.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164<br/>4 Path Dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181<br/>4.1 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182<br/>4.1.1 European Down-and-Out Call Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br/>4.1.2 Transition Density Function and First Passage Time<br/>Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188<br/>4.1.3 Options with Double Barriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<br/>4.1.4 Discretely Monitored Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201</p><p>4.2 Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201<br/>4.2.1 European Fixed Strike Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br/>4.2.2 European Floating Strike Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . 205<br/>4.2.3 More Exotic Forms of European Lookback Options . . . . . . . 207<br/>4.2.4 Differential Equation Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209<br/>4.2.5 Discretely Monitored Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br/>4.3 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212<br/>4.3.1 Partial Differential Equation Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 213<br/>4.3.2 Continuously Monitored Geometric Averaging Options . . . . 214<br/>4.3.3 Continuously Monitored Arithmetic Averaging Options . . . . 217<br/>4.3.4 Put-Call Parity and Fixed-Floating Symmetry Relations . . . . 219<br/>4.3.5 Fixed Strike Options with Discrete Geometric Averaging . . . 222<br/>4.3.6 Fixed Strike Options with Discrete Arithmetic Averaging . . . 225<br/>4.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230<br/>5 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251<br/>5.1 Characterization of the Optimal Exercise Boundaries . . . . . . . . . . . . . 253<br/>5.1.1 American Options on an Asset Paying Dividend Yield . . . . . 253<br/>5.1.2 Smooth Pasting Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255<br/>5.1.3 Optimal Exercise Boundary for an American Call . . . . . . . . . 256<br/>5.1.4 Put-Call Symmetry Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260<br/>5.1.5 American Call Options on an Asset Paying Single<br/>Dividend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263<br/>5.1.6 One-Dividend and Multidividend American Put Options . . . 267<br/>5.2 Pricing Formulations of American Option Pricing Models . . . . . . . . 270<br/>5.2.1 Linear Complementarity Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270<br/>5.2.2 Optimal Stopping Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272<br/>5.2.3 Integral Representation of the Early Exercise Premium . . . . . 274<br/>5.2.4 American Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278<br/>5.2.5 American Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280<br/>5.3 Analytic Approximation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282<br/>5.3.1 Compound Option Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . 283<br/>5.3.2 Numerical Solution of the Integral Equation . . . . . . . . . . . . . . 284<br/>5.3.3 Quadratic Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287<br/>5.4 Options with Voluntary Reset Rights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289<br/>5.4.1 Valuation of the Shout Floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290<br/>5.4.2 Reset-Strike Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292<br/>5.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297<br/>6 Numerical Schemes for Pricing Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313<br/>6.1 Lattice Tree Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315<br/>6.1.1 Binomial Model Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315<br/>6.1.2 Continuous Limits of the Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . 316<br/>6.1.3 Discrete Dividend Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320<br/>6.1.4 Early Exercise Feature and Callable Feature . . . . . . . . . . . . . . 322</p><p>6.1.5 Trinomial Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323<br/>6.1.6 Forward Shooting Grid Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327<br/>6.2 Finite Difference Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332<br/>6.2.1 Construction of Explicit Schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333<br/>6.2.2 Implicit Schemes and Their Implementation Issues . . . . . . . . 337<br/>6.2.3 Front Fixing Method and Point Relaxation Technique . . . . . . 340<br/>6.2.4 Truncation Errors and Order of Convergence . . . . . . . . . . . . . 344<br/>6.2.5 Numerical Stability and Oscillation Phenomena . . . . . . . . . . . 346<br/>6.2.6 Numerical Approximation of Auxiliary Conditions . . . . . . . . 349<br/>6.3 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352<br/>6.3.1 Variance Reduction Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355<br/>6.3.2 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358<br/>6.3.3 Valuation of American Options. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359<br/>6.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369<br/>7 Interest Rate Models and Bond Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381<br/>7.1 Bond Prices and Interest Rates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382<br/>7.1.1 Bond Prices and Yield Curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383<br/>7.1.2 Forward Rate Agreement, Bond Forward and Vanilla<br/>Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384<br/>7.1.3 Forward Rates and Short Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387<br/>7.1.4 Bond Prices under Deterministic Interest Rates . . . . . . . . . . . 389<br/>7.2 One-Factor Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390<br/>7.2.1 Short Rate Models and Bond Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391<br/>7.2.2 Vasicek Mean Reversion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396<br/>7.2.3 Cox–Ingersoll–Ross Square Root Diffusion Model . . . . . . . . 397<br/>7.2.4 Generalized One-Factor Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . 399<br/>7.2.5 Calibration to Current Term Structures of Bond Prices . . . . . 400<br/>7.3 Multifactor Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403<br/>7.3.1 Short Rate/Long Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404<br/>7.3.2 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407<br/>7.3.3 Affine Term Structure Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408<br/>7.4 Heath–Jarrow–Morton Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411<br/>7.4.1 Forward Rate Drift Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413<br/>7.4.2 Short Rate Processes and Their Markovian<br/>Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414<br/>7.4.3 Forward LIBOR Processes under Gaussian HJM<br/>Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418<br/>7.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420<br/>8 Interest Rate Derivatives: Bond Options, LIBOR and Swap Products 441<br/>8.1 Forward Measure and Dynamics of Forward Prices . . . . . . . . . . . . . . 443<br/>8.1.1 ForwardMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443<br/>8.1.2 Pricing of Equity Options under Stochastic Interest Rates . . . 446<br/>8.1.3 Futures Process and Futures-Forward Price Spread . . . . . . . . 448</p><p>8.2 Bond Options and Range Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450<br/>8.2.1 Options on Discount Bonds and Coupon-Bearing Bonds . . . 450<br/>8.2.2 Range Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457<br/>8.3 Caps and LIBOR Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460<br/>8.3.1 Pricing of Caps under Gaussian HJM Framework . . . . . . . . . 461<br/>8.3.2 Black Formulas and LIBOR Market Models . . . . . . . . . . . . . . 462<br/>8.4 Swap Products and Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468<br/>8.4.1 Forward Swap Rates and Swap Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . 469<br/>8.4.2 Approximate Pricing of Swaption under Lognormal<br/>LIBOR Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473<br/>8.4.3 Cross-Currency Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477<br/>8.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485<br/>References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507<br/>Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517<br/>Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521</p><br>矿主
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